高中数学已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的离心率为1/2,且椭圆C经过点P（1,3/2）（I）求椭圆C的标准方程；（II）若线段PQ是椭圆过点F2的弦,且PF2＝入F2Q,求三角形PF1Q内切圆面积最大实

Question

高中数学
已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的离心率为1/2,且椭圆C经过点P（1,3/2）（I）求椭圆C的标准方程；（II）若线段PQ是椭圆过点F2的弦,且PF2＝入F2Q,求三角形PF1Q内切圆面积最大实数入的值.

Answer 1

1）.设椭圆方程为X²/a²+y²/b²=1,
e=c/a=√(a²-b²)/a=1/2 , b²=3/4a²
方程化为：X²/a²+4y²/3a²=1,
将点P待人方程,1/a²+3/a²=1, a²=4,b²=3
椭圆C的标准方程为X²/4+y²/3=1,
2)
设三角形PF1Q内切圆面积S=πr²,
又设P(x1,y1),Q(x2,y2)，
(|PF1|+|QF1|+|PQ|)*r/2=|F1F2||y1-y2|/2
|PF1|+|QF1|+|PQ|=|PF1|+|QF1|+|PF2|+|QF2|
=(|PF1|+|PF2|)+(|QF1|+|QF2|)
=2a+2a=8
|F1F2|=2c=2
r=|y1-y2|/8
设PQ方程为:x=my+1代入椭圆方程3x²+ 4y²=12 得：
3（my+1)²+ 4y²=12
(3m²+4)y²+6my-9=0
y1+y2=-6m/(3m²+4),y1y2=-9/(3m²+4)
|y1-y2|²=(y1+y2)²-4y1y2=36m²/(3m²+4)²+36/(3m²+4)=144(m²+1)/(3m²+4)²
m²+1=t,m²=t-1,t≥1
|y1-y2|²=144t/(3t+1)²=144t/(9t²+6t+1)=144/(9t+1/t+6)
当t=1时,9t+1/t+6取得最小值,于是|y1-y2|²最大，进而内切圆半径r最大，也就是内切圆面积最大
这时m＝0，直线PQ斜率不存在，λ＝1