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已知焦点在x轴上的椭圆E:x^2/4+y^2/b^2=1,离心率e=√3/2,直线l:x=my+1与椭圆E相交于不同的两点A、B.(2)在x轴上是否存在点M,使得直线MA与直线MB生物斜率之积为定值.若存在,求出点M的坐标;若不
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已知焦点在x轴上的椭圆E:x^2/4+y^2/b^2=1,离心率e=√3/2,直线l:x=my+1与椭圆E相交于不同的两点A、B.
(2)在x轴上是否存在点M,使得直线MA与直线MB生物斜率之积为定值.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)在x轴上是否存在点M,使得直线MA与直线MB生物斜率之积为定值.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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答案和解析
椭圆方程是:x²/4+y²=1,即:x²+4y²=4
将直线x=my+1代入椭圆,得:
(m²+4)y²+2my-3=0
设:A(x1,y1)、B(x2,y2),则:
y+y2=-(2m)/(m²+4);y1y1=-3/(m²+4)
设:M(t,0),则:
AM的斜率是k1=(y1)/(x1-t)
BM的斜率是k2=(y2)/(x2-t)
k1k1=(y1y2)/[(x1-t)(x2-t)]=(y1y2)/{[my1+1-t]×[my2+1-t]}
而:(my1+1-t)(my2+1-t)=m²(y1y2)+(1-t)m(y1+y2)+(1-t)²
代入,化简得:
k1k1=(-3)/{[(1-t)²-2(1-t)-3]m²+4(1-t)²}
要使得这个值与m无关,则:
(1-t)²-2(1-t)-3=0
得:t=±2
也就是说,在x轴上的定点是:M(±2,0)
将直线x=my+1代入椭圆,得:
(m²+4)y²+2my-3=0
设:A(x1,y1)、B(x2,y2),则:
y+y2=-(2m)/(m²+4);y1y1=-3/(m²+4)
设:M(t,0),则:
AM的斜率是k1=(y1)/(x1-t)
BM的斜率是k2=(y2)/(x2-t)
k1k1=(y1y2)/[(x1-t)(x2-t)]=(y1y2)/{[my1+1-t]×[my2+1-t]}
而:(my1+1-t)(my2+1-t)=m²(y1y2)+(1-t)m(y1+y2)+(1-t)²
代入,化简得:
k1k1=(-3)/{[(1-t)²-2(1-t)-3]m²+4(1-t)²}
要使得这个值与m无关,则:
(1-t)²-2(1-t)-3=0
得:t=±2
也就是说,在x轴上的定点是:M(±2,0)
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