（2012•洛阳一模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为32，且经过点M（2，1），直线AB平行于OM，且交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的取

Question

（2012•洛阳一模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为(√(3))/(2)，且经过点M（2，1），直线AB平行于OM，且交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线AB在y轴上截距的取值范围；
（3）记直线MA，MB斜率分别为k₁，k₂．试问k₁+k₂是否为定值？若是，求出k₁+k₂的值，否则，说明理由．

Answer 1

（1）设椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)
∵椭圆的离心率为(√(3))/(2)，且经过点M（2，1），
∴

(a2−b2)/(a2)＝(3)/(4)

(4)/(a2)+(1)/(b2)＝1

∴a²=8，b²=2
∴椭圆方程为(x2)/(8)+(y2)/(2)＝1；
（2）∵直线AB∥OM，kOM＝(1)/(2)，∴可设直线AB的方程为y＝(1)/(2)x+m
代入椭圆方程，可得x²+2mx+2m²-4=0
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0
∴-2＜m＜2
当m=0时，x=±2，这与直线AB∥OM相矛盾，∴m≠0
∴直线AB在y轴上截距的取值范围是（-2，0）∪（0，2）；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则k1＝(y1−1)/(x1−2)，k2＝(y2−1)/(x2−2)，
由x²+2mx+2m²-4=0，可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，
∴k₁+k₂=(2m2−4+(m−2)(−2m)−4(m−1))/((x1−2)(x2−2))=(2m2−4−2m2+4m−4m+4)/((x1−2)(x2−2))=0
即k₁+k₂为定值0．