如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l与椭圆有A、B两个不同的交点（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；

Question

如图，已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(2)，且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l与椭圆有A、B两个不同的交点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)…（1分）
离心率e=(c)/(a)＝(√(3))/(2)，
∴c2＝(3)/(4)a2，解得b2＝(1)/(4)a2，
由经过点M（2，1），(4)/(a2)+(1)/(b2)＝1，
解得a²=8，b²=2，
∴椭圆方程为(x2)/(8)+(y2)/(2)＝1．
（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM＝(1)/(2)∴l的方程为：y＝(1)/(2)x+m…（5分）
由

y＝(1)/(2)x+m

(x2)/(8)+(y2)/(2)＝1

∴x2+2mx+2m2−4＝0…（6分）
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

∴△＝(2m)2−4(2m2−4)＞0，

解得−2＜m＜2，且m≠0…(8分)

（III）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，
只需证明k₁+k₂=0即可…（9分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则k1＝(y1−1)/(x1−2)，k2＝(y2−1)/(x2−2)
由x2+2mx+2m2−4＝0可得x1+x2+−2m，x1x2＝2m2−4…（10分）
而k1+k2＝(y1−1)/(x1−2)+(y2−1)/(x2−2)＝((y1−1)(x2−2)+(y2−1)(x1−2))/((x1−2)(x2−2))

＝(((1)/(2)x1+m−1)(x2−2)+((1)/(2)x2+m−1)(x1−2))/((x1−2)(x2−2))

＝(x1x2+(m−2)(x1+x2)−4(m−1))/((x1−2)(x2−2))

＝(2m2−4+(m−2)(−2m)−4(m−1))/((x1−2)(x2−2))

＝(2m2−4−2m2+4m−4m+4)/((x1−2)(x2−2))＝0…(13分)

∴k1+k2＝0

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．…（14分）