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如图1,四边形OABC中,OA=a,OC=8,BC=6,∠AOC=∠BCO=90°,经过点O的直线l将四边形分成两部分,直线l与OC所成的角设为θ,将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠,点C落在点D处(如图1).(1)
题目详情
如图1,四边形OABC中,OA=a,OC=8,BC=6,∠AOC=∠BCO=90°,经过点O 的直线l将四边形分成两部分,直线l与OC所成的角设为θ,将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠,点C落在点D处(如图1).
(1)若点D与点A重合,则θ=______,a=______;
(2)若折叠后点D恰为AB的中点(如图2),求θ的度数;
(3)若θ=45°,四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后,点B落在四边形OABC的边AB上的E处,直线l与AB相交于点F(如图3),
①求a的值;
②点P为边OA上一动点,连接PE,PF,直接写出PE+PF的最小值的平方.
(1)若点D与点A重合,则θ=______,a=______;
(2)若折叠后点D恰为AB的中点(如图2),求θ的度数;
(3)若θ=45°,四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后,点B落在四边形OABC的边AB上的E处,直线l与AB相交于点F(如图3),
①求a的值;
②点P为边OA上一动点,连接PE,PF,直接写出PE+PF的最小值的平方.
▼优质解答
答案和解析
(1)若点D与点A重合,
则θ=
∠COA=45°,OA=OC=8.
故答案为45°,8.
(2)延长MD、OA,交于点N,如图2.
∵∠AOC=∠BCO=90°,
∴∠AOC+∠BCO=180°,
∴BC∥OA,
∴∠B=∠DAN.
在△BDM和△ADN中,
,
∴△BDM≌△ADN(ASA),
∴DM=DN.
∵∠ODM=∠OCM=90°,
∴根据线段垂直平分线的性质可得OM=ON,
∴根据等腰三角形的性质可得∠MOD=∠NOD.
由折叠可得∠MOD=∠MOC=θ,
∴∠COA=3θ=90°,
∴θ=30°
(3)①过点B作BH⊥OA于点H,如图3.
∵∠COA=90°,∠COF=45°,
∴∠FOA=45°.
∵点B与点E关于直线l对称,
∴∠OFA=∠OFB=90°,
∴∠OAB=45°,
∴∠HBA=90°-45°=45°=∠HAB,
∴BH=AH.
∵CO⊥OA,BH⊥OA,∴CO∥BH.
∵BC∥OA,∴四边形BCOH是平行四边形,
∴BH=CO=8,OH=CB=6,
∴OA=OH+AH=OH+BH=6+8=14.
②过点F作OA的对称点Q,连接AQ、EQ,如图3,
则有∠QAO=∠FAO=45°,QA=FA,
∴∠QAF=90°.
在Rt△BHA中,AB=
=8
.
在Rt△OFA中,AF=OA•cos∠FAO=14×
=7
,
∴AQ=AF=7
.
OF=OA•sin∠FAO=14×
=7
.
在Rt△OCB中,OB=
=
=10.
在Rt△OFB中,BF=
=
=
.
由折叠可得EF=BF=
,
∴AE=AF-EF=7
-
=6
.
在Rt△QAE中,
EQ2=AE2+AQ2=(6
)2+(7
)2=170.
根据两点之间线段最短可得:
当点E、P、Q三点共线时,PE+PF=PE+PQ最短,最小值为线段EQ长.
∴PE+PF的最小值的平方是170.
则θ=
1 |
2 |
故答案为45°,8.
(2)延长MD、OA,交于点N,如图2.
∵∠AOC=∠BCO=90°,
∴∠AOC+∠BCO=180°,
∴BC∥OA,
∴∠B=∠DAN.
在△BDM和△ADN中,
|
∴△BDM≌△ADN(ASA),
∴DM=DN.
∵∠ODM=∠OCM=90°,
∴根据线段垂直平分线的性质可得OM=ON,
∴根据等腰三角形的性质可得∠MOD=∠NOD.
由折叠可得∠MOD=∠MOC=θ,
∴∠COA=3θ=90°,
∴θ=30°
(3)①过点B作BH⊥OA于点H,如图3.
∵∠COA=90°,∠COF=45°,
∴∠FOA=45°.
∵点B与点E关于直线l对称,
∴∠OFA=∠OFB=90°,
∴∠OAB=45°,
∴∠HBA=90°-45°=45°=∠HAB,
∴BH=AH.
∵CO⊥OA,BH⊥OA,∴CO∥BH.
∵BC∥OA,∴四边形BCOH是平行四边形,
∴BH=CO=8,OH=CB=6,
∴OA=OH+AH=OH+BH=6+8=14.
②过点F作OA的对称点Q,连接AQ、EQ,如图3,
则有∠QAO=∠FAO=45°,QA=FA,
∴∠QAF=90°.
在Rt△BHA中,AB=
BH2+AH2 |
2 |
在Rt△OFA中,AF=OA•cos∠FAO=14×
| ||
2 |
2 |
∴AQ=AF=7
2 |
OF=OA•sin∠FAO=14×
| ||
2 |
2 |
在Rt△OCB中,OB=
OC2+BC2 |
82+62 |
在Rt△OFB中,BF=
OB2−OF2 |
102−(7
|
2 |
由折叠可得EF=BF=
2 |
∴AE=AF-EF=7
2 |
2 |
2 |
在Rt△QAE中,
EQ2=AE2+AQ2=(6
2 |
2 |
根据两点之间线段最短可得:
当点E、P、Q三点共线时,PE+PF=PE+PQ最短,最小值为线段EQ长.
∴PE+PF的最小值的平方是170.
看了如图1,四边形OABC中,OA...的网友还看了以下:
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