已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转

Question

已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 ．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 ＝ ＋ 成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）P( ，± )， x±y－ ＝0.

试题分析：(Ⅰ) 先利用点到直线的距离公式求 ，再利用离心率求 ，最后利用参数的关系求 ；(Ⅱ)设点利用方程组消元后得根与系数关系，然后代入题中条件化简可求.
试题解析：(Ⅰ) 设F(c，0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，
∴O到l的距离为 ，
由已知，得 ＝ ，∴c＝1．
由e＝ ＝ ，得a＝ ，b＝ ＝ ．              4分
（Ⅱ）假设C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 ＝ ＋ 成立，
设A(x ₁ ，y ₁ )，B(x ₂ ，y ₂ )，则P(x ₁ ＋x ₂ ，y ₁ ＋y ₂ )．
由（Ⅰ），知C的方程为 ＋ ＝1．
由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝ty＋1．
由 ，消去x并化简整理，得(2t ² ＋3)y ² ＋4ty－4＝0．
由韦达定理，得y ₁ ＋y ₂ ＝－ ，
∴x ₁ ＋x ₂ ＝ty ₁ ＋1＋ty ₂ ＋1＝t(y ₁ ＋y ₂ )＋2＝－ ＋2＝ ，
∴P( ，－ )．
∵点P在C上，∴ ＋ ＝1，
化简整理，得4t ⁴ ＋4t ² －3＝0，即(2t ² ＋3)(2t ² －1)＝0，解得t ² ＝ ．
当t＝ 时，P( ，－ )，l的方程为 x－y－ ＝0；
当t＝－ 时，P( ， )，l的方程为 x＋y－ ＝0．
故C上存在点P(

作业帮用户 2017-10-22

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