已知点A、B是抛物线C：x2=2py（p>0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到准线l的距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）若点F与原点O分别在直线AB与直线AD上，探究：直线BD与y

Question

已知点A、B是抛物线C：x²=2py（p>0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到准线l的距离为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点F与原点O分别在直线AB与直线AD上，探究：直线BD与y轴间的关系．

Answer 1

（1）∵焦点F到准线l的距离为2，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为x²=4y；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=mx+1．
与抛物线C：x²=4y联立可得x²-4mx-4=0，∴x₁x₂=-4，
直线AO的方程为y=(y1)/(x1)x，令y=-1，则x=-(x1)/(y1)，即D（-(x1)/(y1)，-1），
∴-(x1)/(y1)=-(4)/(x1)=-x₂，
∴BD∥y轴．