已知四边形ABCD是边长为2的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点（不与点A、B重合）,连接PA、PB、PC、PD．当PA的长度等于多少时,∠PAD=60°；当PA的长度等于,△PAD是等腰三角形

Question

已知四边形ABCD是边长为2的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点（不与点A、B重合）,
连接PA、PB、PC、PD．
当PA的长度等于多少 时,∠PAD=60°；当PA的长度等于,△PAD是等腰三角形
注意!边长为2.

Answer 1

第一个问题：
∵ABCD是正方形,∴∠BAD＝90°.
∴要使∠PAD＝60°,就需要∠PAB＝30°.
∵AB是直径,∴AP⊥BP,∴此时PA＝（√3/2）AB＝（√3/2）×2＝√3.
即：当PA为√3 时,∠PAD＝60°.
第二个问题：
一、当AD＝PA时.
　　∵ABCD是正方形,∴AD＝AB,又AD＝PA,∴AB＝PA.
　　∵AB是直径,∴PA⊥PB,∴AB是Rt△ABP的斜边.
　　在直角三角形中,斜边等于直角边显然是不可能的,∴AB＝PA是错误的.
　　即AD＝PA是错误的,∴这种情况应舍去.
二、当AD＝PD时.
　　令AB的中点为E,再令PA与DE的交点为F.
　　∵AD＝PD、AE＝PE,∴DE是AP的垂直平分线,∴AF⊥DE、AF＝PA/2.
　　∵ABCD是正方形,∴AD＝AB＝2、AD⊥AE.
　　∴由勾股定理,有：DE＝√（AD^2＋AE^2）＝√（4＋1）＝√5.
　　又DE×AF＝AD×AE,∴AF＝AD×AE/DE＝2×1/√5＝2√5/5,∴PA/2＝2√5/5,
　　∴PA＝4√5/5.
　　即：当PA的长度为4√5/5时,△PAD是等腰三角形.
三、当PA＝PD时.
　　∵PA＝PD,∴∠PDA＝∠PAD.
　　∵∠BAD＝90°,∴∠PAD＋∠PAB＝90°.
　　∵AB是直径,∴∠APB＝90°,∴∠PBA＋∠PAB＝90°.
　　由∠PAD＋∠PAB＝90°、∠PBA＋∠PAB＝90°,得：∠PBA＝∠PAD＝∠PDA,
　　∴△PAB的外接圆与△PAD的外接圆是等圆,又AB＝AD,∴∠APB＝∠APD＝90°,
　　∴P在BD上,而AP⊥BP,∴P是BD的中点,∴PA＝AB/√2＝2/√2＝√2.
　　即：当PA的长度为√2时,△PAD是等腰三角形.
综上一、二、三所述,得：当PA的长度为 4√5/5 或 √2 时,△PAD是等腰三角形.