△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，∠CDE=∠AOB=90°，DC=DE=1，OA=OB=a（a＞1）．（1）将△CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM．①如图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线

Question

△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，∠CDE=∠AOB=90°，DC=DE=1，OA=OB=a（a＞1）．
（1）将△CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM．
①如图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线段OM与AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；
②如图2，若CD在△AOB内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM与AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；
③将△CDE绕点O任意转动，写出OM的取值范围（用含a式子表示）；
（2）是否存在边长最大的△AOB，使△CDE的三个顶点分别在△AOB的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）①∵△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，∴CD=ED，AO=B0，∠CDE=∠AOB，在△CDE和△AOB中，CD＝ED∠CDE＝∠AOBAO＝BO，∴△CDE≌△AOB（SAS），∴BC=AE∵M为BC中点，∴OM=12BC，∴OM=12AE．②猜想：OM=12AE．证...