已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D

Question

已知二次函数y=a（x-m）²-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．
①当△ABC的面积为1时，求a的值
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

Answer 1

（1）证明：令y=0，a（x-m）²-a（x-m）=0，
△=（-a）²-4a×0=a²，
∵a≠0，
∴a²＞0，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）①y=0，则a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，
解得x₁=m，x₂=m+1，
∴AB=（m+1）-m=1，
y=a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m-(1)/(2)）²-(a)/(4)，
△ABC的面积=(1)/(2)×1×|-(a)/(4)|=1，
解得a=±8；
②x=0时，y=a（0-m）²-a（0-m）=am²+am，
所以，点D的坐标为（0，am²+am），
△ABD的面积=(1)/(2)×1×|am²+am|，
∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∴(1)/(2)×1×|am²+am|=(1)/(2)×1×|-(a)/(4)|，
整理得，m²+m-(1)/(4)=0或m²+m+(1)/(4)=0，
解得m=(−1±√(2))/(2)或m=-(1)/(2)．