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已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为-,点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M,N两点,直线BM与
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已知动点 P 到点 A (-2,0)与点 B (2,0)的斜率之积为- ,点 P 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)若点 Q 为曲线 C 上的一点,直线 AQ , BQ 与直线 x =4分别交于 M , N 两点,直线 BM 与椭圆的交点为 D .求证, A , D , N 三点共线. |
▼优质解答
答案和解析
(1) + y 2 =1( x ≠±2).(2)见解析 |
(1)解 设 P 点坐标( x , y ),则 k AP = ( x ≠-2), k BP = ( x ≠2),由已知 · =- ,化简,得 + y 2 =1,所求曲线 C 的方程为 + y 2 =1( x ≠±2). (2)证明 由已知直线 AQ 的斜率存在,且不等于0,设方程为 y = k ( x +2), 由 消去 y ,得(1+4 k 2 ) x 2 +16 k 2 x +16 k 2 -4=0,① 因为-2, x Q 是方程①的两个根,所以-2 x Q = ,得 x Q = ,又 y Q = k ( x Q +2)= k = ,所以 Q . 当 x =4,得 y M =6 k ,即 M (4,6 k ). 又直线 BQ 的斜率为- ,方程为 y =- ( x -2),当 x =4时,得 y N =- ,即 N .直线 BM 的斜率为3 k ,方程为 y =3 k ( x -2). 由 消去 y 得: (1+36 k 2 ) x 2 -144 k 2 x +144 k 2 -4=0,② 因为2, x D 是方程②的两个根, 所以2· x D = , 得 x D = ,又 y D =3 k ( x D -2)=- , 即 D , 由上述计算: A (-2,0), D , N . 因为 k AD =- , k AN =- ,所以 k AD = k AN . 所以 A , D , N 三点共线. |
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