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已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为-,点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M,N两点,直线BM与

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已知动点 P 到点 A (-2,0)与点 B (2,0)的斜率之积为- ,点 P 的轨迹为曲线 C .

(1)求曲线 C 的方程;
(2)若点 Q 为曲线 C 上的一点,直线 AQ BQ 与直线 x =4分别交于 M N 两点,直线 BM 与椭圆的交点为 D .求证, A D N 三点共线.
▼优质解答
答案和解析
(1) y 2 =1( x ≠±2).(2)见解析

(1)解 设 P 点坐标( x y ),则 k AP  ( x ≠-2), k BP  ( x ≠2),由已知 · =- ,化简,得 y 2 =1,所求曲线 C 的方程为 y 2 =1( x ≠±2).
(2)证明 由已知直线 AQ 的斜率存在,且不等于0,设方程为 y k ( x +2),
消去 y ,得(1+4 k 2 ) x 2 +16 k 2 x +16 k 2 -4=0,①
因为-2, x Q 是方程①的两个根,所以-2 x Q ,得 x Q ,又 y Q k ( x Q +2)= k ,所以 Q .
x =4,得 y M =6 k ,即 M (4,6 k ).
又直线 BQ 的斜率为- ,方程为 y =-  ( x -2),当 x =4时,得 y N =- ,即 N .直线 BM 的斜率为3 k ,方程为 y =3 k ( x -2).
消去 y 得:
(1+36 k 2 ) x 2 -144 k 2 x +144 k 2 -4=0,②
因为2, x D 是方程②的两个根,
所以2· x D
x D ,又 y D =3 k ( x D -2)=-
D
由上述计算: A (-2,0),
D N .
因为 k AD =- k AN =- ,所以 k AD k AN .
所以 A D N 三点共线.