已知动点P到点A(－2,0)与点B(2,0)的斜率之积为－，点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x＝4分别交于M，N两点，直线BM与

Question

已知动点 P 到点 A (－2,0)与点 B (2,0)的斜率之积为－ ，点 P 的轨迹为曲线 C .

(1)求曲线 C 的方程；
(2)若点 Q 为曲线 C 上的一点，直线 AQ ， BQ 与直线 x ＝4分别交于 M ， N 两点，直线 BM 与椭圆的交点为 D .求证， A ， D ， N 三点共线．

Answer 1

（1） ＋ y ² ＝1( x ≠±2)．（2）见解析

(1)解　设 P 点坐标( x ， y )，则 k _AP ＝  ( x ≠－2)， k _BP ＝  ( x ≠2)，由已知 · ＝－ ，化简，得 ＋ y ² ＝1，所求曲线 C 的方程为 ＋ y ² ＝1( x ≠±2)．
(2)证明　由已知直线 AQ 的斜率存在，且不等于0，设方程为 y ＝ k ( x ＋2)，
由 消去 y ，得(1＋4 k ² ) x ² ＋16 k ² x ＋16 k ² －4＝0，①
因为－2， x _Q 是方程①的两个根，所以－2 x _Q ＝ ，得 x _Q ＝ ，又 y _Q ＝ k ( x _Q ＋2)＝ k ＝ ，所以 Q .
当 x ＝4，得 y _M ＝6 k ，即 M (4,6 k )．
又直线 BQ 的斜率为－ ，方程为 y ＝－  ( x －2)，当 x ＝4时，得 y _N ＝－ ，即 N .直线 BM 的斜率为3 k ，方程为 y ＝3 k ( x －2)．
由 消去 y 得：
(1＋36 k ² ) x ² －144 k ² x ＋144 k ² －4＝0，②
因为2， x _D 是方程②的两个根，
所以2· x _D ＝ ，
得 x _D ＝ ，又 y _D ＝3 k ( x _D －2)＝－ ，
即 D ，
由上述计算： A (－2,0)，
D ， N .
因为 k _AD ＝－ ， k _AN ＝－ ，所以 k _AD ＝ k _AN .
所以 A ， D ， N 三点共线．