已知圆M：x2+（y-4）2=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线pa、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N

Question

已知圆M：x²+（y-4）²=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线pa、PB，切点为A、B．
（Ⅰ）当切线PA的长度为2√(3)时，求点P的坐标；
（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，
所以MP=√((0−2b)2+(4−b)2)＝√(AM2+AP2)＝4，解得b＝0或b＝(8)/(5)
所以P(0，0)或P((16)/(5)，(8)/(5))…4分
（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为：(x−b)2+(y−(b+4)/(2))2＝(4b2+(b−4)2)/(4)
即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0
由

2x+y−4＝0

x2+y2−4y＝0

，…7分
解得

x＝0

y＝4

或

x＝(8)/(5)

y＝(4)/(5)

，所以圆过定点(0，4)，((8)/(5)，(4)/(5))…9分
（Ⅲ）因为圆N方程为（x-b）²+（y-(b+4)/(2)）²=(4b2+(b−4)2)/(4)
即x²+y²-2bx-（b+4）y+4b=0 　　　　　　　　　　    …①
圆M：x²+（y-4）²=4，即x²+y²-8y+12=0…②
②-①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b-4）y+12-4b=0…11分
点M到直线AB的距离d＝(4)/(√(5b2−8b+16))…13分
相交弦长即：AB＝2√(4−d2)＝4√(1−(4)/(5b2−8b+16))＝4√(1−(4)/(5(b−(4)/(5))2+(64)/(5)))
当b＝(4)/(5)时，AB有最小值√(11)…16分．