已知椭圆x^2+y^2=4,过点P(1,0)作一条直线交椭圆于AB两点.问题（1）求|AB|最大值（2）当|AB|最大时,求△AOB的面积不好意思题打错了更正已知椭圆2x^2+y^2=4,过点P(1,0)作一条直线交椭圆于AB两点。问

Question

已知椭圆x^2+y^2=4,过点P(1,0)作一条直线交椭圆于A B两点.
问题（1）求|AB|最大值（2）当|AB|最大时,求△AOB的面积
不好意思题打错了更正
已知椭圆2x^2+y^2=4,过点P(1,0)作一条直线交椭圆于A B两点。
问题（1）求|AB|最大值（2）当|AB|最大时，求△AOB的面积

Answer 1

（1）以y=√2x（x≥0）代入椭圆方程,解得x=1,故y=√2,所以A（1,√2）,
设AC斜率为k（k＞0）,因为AB的倾角与AC的倾角互补,所以AB的斜率为-k,
故AC方程为：y=k(x-1)+√2,AB方程为：y=-k(x-1)+√2,
以AC方程y=k(x-1)+√2代入椭圆方程,
整理得：(k^2+2)x^2+(2√2k-2k^2)x+k^2-2√2k-2=0,
因为A(1,√2)为AC与椭圆交点,故1为上方程的一个根,另一根为x[C],
故x[C]·1=x[C]=(k^2-2√2k-2)/(k^2+2),
故y[C]=k(x[C]-1)+√2=(-√2k^2-4k+2√2)/(k^2+2),
故C（(k^2-2√2k-2)/(k^2+2),(-√2k^2-4k+2√2)/(k^2+2)）,
同理可求得B（(k^2+2√2k-2)/(k^2+2),(-√2k^2+4k+2√2)/(k^2+2)）,
直线BC的斜率k[AB]=(y[C]-y[B])/(x[C]-x[B])
=[(-√2k^2-4k+2√2)/(k^2+2)-(-√2k^2+4k+2√2)/(k^2+2)]/[k^2-2√2k-2)/(k^2+2)-(k^2+2√2k-2)/(k^2+2)]=8k/(4√2k)=√2,
所以直线BC的斜率为√2.
（2）设直线BC与y轴交点为(0,b),又直线BC的斜率为√2,
故直线BC方程为y=√2x+b,代入椭圆方程得:4x^2+2√2bx+b^2-4=0,
令△＞0,得b^2＜8,
x[B]+x[C]=-√2b/2,x[B]·x[C]=(b^2-4)/4,
(x[B]-x[C])^2=(x[B]+x[C])^2-4x[B]·x[C]=4-b^2/2,
y[B]+y[C]=(√2x[B]+b)+(√2x[C]+b)=√2(x[B]+x[C])+2b=b,
y[B]·y[C]=(√2x[B]+b)·(√2x[C]+b)
=2x[B]·x[C]+√2b(x[B]+x[C])+b^2=b^2/2-4,
(y[B]-y[C])^2=(y[B]+y[C])^2-4y[B]·y[C]=4-b^4,
故|AB|=√[(x[B]-x[C])^2+(y[B]-y[C])^2]=√(8-3b^2/2),
求得原点O到AB的距离h=|b|/√3,
因为AO与BC斜率均为√2,所以AO‖BC,
故A到AB的距离也为h,
三角形ABC的面积S=|AB|h/2=(√6/12)√(-3b^4+16b^2),
[把(-3b^4+16b^2)看作b^2的二次函数],
故当b^2=8/3时,Smax=(√6/12)·8/√3=2√2/3.