已知二次函数的图像与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),且与直线y=kx-4交y轴与点c求：（1）求这个二次函数的解析式（2）如果直线y=kx-4经过二次函数的顶点D,且与x轴交与点E,△AEC的面积与△BCD的面积

Question

已知二次函数的图像与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),且与直线y=kx-4交y轴与点c 求：
（1）求这个二次函数的解析式
（2）如果直线y=kx-4经过二次函数的顶点D,且与x轴交与点E,△AEC的面积与△BCD的面积是否相等,请说明理由
（3）求sin∠ACB的值
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Answer 1

1)因为图像与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),所以可设此二次函数的表达式为：y=a(x+1)(x-3)
又直线y=kx-4与y轴交点的横坐标是0,把x=0代入得y=-4,即此二次函数也过点
（0,-4）,把 x=0,y=4代入二次函数表达式中：-4=a(-3),所以a=4/3,
所以所求二次函数的表达式为y=4/3(x+1)(x-3),即y=4/3(x^2-2x-3)
2)因为y=4/3(x^2-2x-3)=4/3[(x-1)^2-4]=4/3(x-1)^2-16/3,所以顶点D（1,-16/3）,因为直线y=kx-4也过点D,把x=1,y=-16/3代入此直线方程：-16/3=k-4,解得k=-4/3,于是直线方程为：y=-4x/3-4,把y=0代入即得此直线与X轴交点的坐标：E（-3,0）
（请自己作图）三角形AEC的面积：1/2×AE×4=4
三角形ACB的面积：1/2×AB×4=8
三角形EDB的面积：1/2×BE×16/3=16
所以三角形BCD的面积=16-4-8=4,因此△AEC的面积与△BCD的面积相等.
3）因为AC=√17, BC=5,且三角形ACB的面积=1/2AC×BC×sin∠ACB
所以：8=1/2×√17×5×sin∠ACB,解得sin∠ACB=16√17/85