P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。

Question

P、Q、M、N四点都在椭圆 上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知 与 共线， 与 共线，且 ，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。

Answer 1

∵ ，即MN⊥PQ，
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴，
不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，
∵F(0，1)，
∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0，
分别代入椭圆 中得：|MN|= ，|PQ|=2 ，
S _{四边形PMQN} = ，
当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，设MN的方程为y=kx+1 (k≠0)，
代入椭圆 中得：(k ² +2)x ² +2kx-1=0，
∴x ₁ +x ₂ = ，x ₁ ·x ₂ = ，
∴ ，
同理可得： ，
S _{四边形PMQN} = |MN|·|PQ|= ，
(当且仅当 即k=±1时，取等号)，
又S _{四边形PMQN} = ，
∴此时 S _{四边形PMQN} ＜2；
综上可知：(S _{四边形PMQN} ) _max =2，(S _{四边形PMQN} ) _min = 。