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设A是3阶实对称矩阵且A^3-A^2-A=2E,则A的二次经正交变换化成标准形为
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设A是3阶实对称矩阵且A^3-A^2-A=2E,则A的二次经正交变换化成标准形为
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答案和解析
设a是A的任一特征向量
则（A^3-A^2-A-2E）a=(λ^3-λ^2-λ-2)a=(λ-2)(λ^2+λ+1)a=0
因为a是实对称矩阵,特征值全为实数
所以λ=2
所以A的特征值全为2
所以A标准形为2x1^2+2x2^2+2x3^2
则（A^3-A^2-A-2E）a=(λ^3-λ^2-λ-2)a=(λ-2)(λ^2+λ+1)a=0
因为a是实对称矩阵,特征值全为实数
所以λ=2
所以A的特征值全为2
所以A标准形为2x1^2+2x2^2+2x3^2
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