若二次曲面的方程为x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4，经正交变换化为y12+4z12=4，则a=．

Question

若二次曲面的方程为x²+3y²+z²+2axy+2xz+2yz=4，经正交变换化为y₁²+4z₁²=4，则a=______．

Answer 1

【解法一】
由题设可知，二次型矩阵矩阵：A=

1	a	1
a	3	1
1	1	1

，
其特征值为0，1，4．
根据特征值的性质可得：|A|=0•1•4=0，
而：|A|=-（a-1）²，
所以a=1．
故答案为1．

【解法二】
由题设可知，二次型矩阵矩阵A=

1	a	1
a	3	1
1	1	1

的秩为2．
对矩阵A进行初等行变换，有：
A=

1	a	1
a	3	1
1	1	1

→

1	1	1
0	3-a	1-a
0	a-1	0

→

1	1	1
0	2	1-a
0	a-1	0

→

1	1	1
0	2	1-a
0	0	((1-a)2)/(2)

，
从而：r（A）=2⇔a=1．
故答案为1．