圆锥曲线方程已知椭圆的中心在原点,准线为x=正负4倍根号2,若直线X-根号2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点,求椭圆的方程

Question

圆锥曲线方程
已知椭圆的中心在原点,准线为x=正负4倍根号2,若直线X-根号2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点,求椭圆的方程

Answer 1

设该椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1
准线x=a²/c=4√2
得a²=4√2c
a²＞c²
4√2c＞c²
c(c-4√2)＜0
得0＜c＜4√2
b²=a²-c²=4√2c-c²
该椭圆的方程为x²/(4√2c)+y²/(4√2c-c²)=1
将x=c代入椭圆方程,得
c²/(4√2c)+y²/(4√2c-c²)=1
得y²=(c³-8√2c²+32c)/4√2
将x=c代入x-√2y=0,得
c-√2y=0
得y=√2c/2,即y²=c²/2
(c³-8√2c²+32c)/4√2=c²/2
(c²-8√2c+32)/4√2=c/2
c²-10√2c+32=0
√Δ=√[(10√2)²-4•32]=6√2
c=(10√2±6√2)/2
c1=8√2,c2=2√2
0＜c＜4√2,则c=2√2,c²=8
a²=4√2c=16
b²=a²-c²=16-8=8
该椭圆的方程为x²/16+y²/8=1