已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且∠APD=45°，

Question

已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且∠APD=45°，求证：BD=CE．

Answer 1

（1）∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，

AD=BC

∠FAD=∠DBC

AF=BD

，
∴△FAD≌△DBC（SAS）；
∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形．
（2）如图2，作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，

∴∠FAD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC=90°．
在△FAD和△DBC中，

AF=BD

∠FAD=∠DBC

AD=BC

，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°．
∵∠APD=45°，
∴∠FCD=∠APD，
∴CF∥AE．
∵∠FAD=90°，∠ABC=90，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∴CE=BD．