篮球比赛时，运动员的进攻成功率=投球命中率×不被对方运动员的拦截率．某运动员在距球篮10米（指到篮圈圆心在地面上射影的距离）以内的投球命中率有如下变化：距球篮1米以内（不含1

Question

篮球比赛时，运动员的进攻成功率=投球命中率×不被对方运动员的拦截率．某运动员在距球篮10米（指到篮圈圆心在地面上射影的距离）以内的投球命中率有如下变化：距球篮1米以内（不含1米）为100%．距离球篮x米处，命中率下降至100%-10%[x]．该运动员投球被拦截率为(90%)/([x]+1)([x]为实数x的整数部分，如[3.4]=3)．试求该运动员在比赛时：（结果精确到1%）
（1）在三分线（约距球篮6.72米）处的进攻成功率为多少？
（2）在距球篮几米处的进攻成功率最大，最大进攻成功率为多少？

Answer 1

（1）依题意，投篮命中率为100%-10%[x]，投篮不被拦截率为1-(90%)/([x]+1)；
故该运动员的进攻率（设为y）为y=（1-(90%)/([x]+1)）（100%-10%[x]）=(1-(90%)/([x]+1))(1-0.1[x])
设[x]+1=t，则[x]=t-1，y=（1-(0.9)/(t)）（1.1-0.1t）=1.19-（0.1t+(0.99)/(t)），
当x=6.72时，t=[6.72]+1=7，y≈0.35=35%．
（2）∵0.1t+(0.99)/(t)≥2√(0.1t•(0.99)/(t))，
当且仅当0.1t=(0.99)/(t)，即t≈3.15取等号．
但t∈N^*，∴t=3或4时，y可能有最大值，当t=3时，y=0.56，当t=4时，y=0.54，
∴当t=3时，y有最大值0.56，这时[x]=2，即2≤x<3．
答：在三分线处进攻率为35%，在距离球篮2至3米的进攻成功率最大，最大成功率为56%．