（2009•杭州二模）如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x2+y2=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）若3k＝2aca2+c2−b2，求cos2A+

Question

（2009•杭州二模）如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x²+y²=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（1）若3k＝(2ac)/(a2+c2−b2)，求cos2(A+C)/(2)+sin2B的值；
（2）若k＝2，记∠xOA＝α(0＜α＜(π)/(2))，∠xOB＝β(π＜β＜(3π)/(2))，求sin(α+β)的值．

Answer 1

（1）变式得：3(sinB)/(cosB)＝(2ac)/(a2+c2−b2)，解得sinB＝(1)/(3)，
原式=sin2(B)/(2)+sin2B＝(1−cosB)/(2)+2sinBcosB＝(9+2√(2))/(18)；
（2）

解

x2+y2＝1

y＝2x+m

，5x2+4mx+m2−1＝0

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2＝−(4m)/(5)，x1x2＝(m2−1)/(5)．

sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ＝y1x2+x1y2＝(2x1+m)x2+x1(2x2+m)

＝4x1x2+m(x1+x2)＝−(4)/(5)