如果甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，而且他们的水平相当，规定“7局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局．求：(Ⅰ)乙取胜的概率；(Ⅱ)比赛打满七局的概率；(Ⅲ)设比赛局

Question

如果甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，而且他们的水平相当，规定“7局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局．
求：(Ⅰ)乙取胜的概率；
(Ⅱ)比赛打满七局的概率；
(Ⅲ)设比赛局数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．____

Answer 1

【分析】(1)若已知甲先赢了前两局，列举乙胜的可能情况，第一种是乙连胜四局；第二种是在第3局到第6局，乙赢了3局，第7局乙赢，分别求出两种情况下的概率，然后根据互斥事件的概率公式求和即可．
\n(2)比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，实际上甲胜和乙胜的概率是一样的，设出事件，列出算式求得结果．
\n(3)比赛最少要打四局，最多是七局，所以离散型随机变量的取值是4、5、6、7，写出分布列，得到期望．

(Ⅰ)当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：
\n第一种是乙连胜四局；第二种是在第3局到第6局，乙赢了3局，第7局乙赢．
\n在第一种情况下，乙取胜的概率为
\n在第二种情况下，乙取胜的概率为
\n所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为．
\n(Ⅱ)比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，
\n记“比赛打满七局甲胜”为事件A；记“比赛打满七局乙胜”为事件B．
\n则，
，
\n又A，B互斥，
\n所以比赛打满七局的概率为)；
\n(或第3～6局中甲甲胜1局乙胜3局，．
\n(Ⅲ)，
，
，
，
\n所以ξ的分布列为：

x	4	5	6	7
p

\n则Eξ=(4+5+6+67)×=5.5．

【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．