已知双曲线x^2-y^2=1的左右顶点分别是A1、A2,动直线l:y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切,且与双曲线左右两支的焦点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2)(1)求k的取值范围,并求x2-x1的最小值(2)记直线P1A1的斜率为k1,直线P2A2的

Question

已知双曲线x^2-y^2=1的左右顶点分别是A1、A2,动直线l:y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切,且与双曲线左右两支的焦点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2)
(1)求k的取值范围,并求x2-x1的最小值
(2)记直线P1A1的斜率为k1,直线P2A2的斜率为k2,那么k1·k2是定值吗?证明结论

Answer 1

动直线l:y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切,即元点到直线的距离为d=1,可得：m^2=1+k^2 ①.y=kx+m双曲线x^2-y^2=1双曲线左右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),可知:k^20；x1+x2=2km/(1-k^2) ; x1x2=-(m^2+1)/(1-k^2)