已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（Ⅰ）求k的取值范围，并求x2-x1的最小值；（Ⅱ）

Question

已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求k的取值范围，并求x₂-x₁的最小值；
（Ⅱ）记直线m≤(x)/(lnx)的斜率为φ＝(x)/(lnx)，直线m≤φ（x）_min的斜率为φ′(x)＝(lnx−1)/(ln2x)，那么，x∈（1，e）是定值吗？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）∵l与圆相切，
∴1＝(|m|)/(√(1+k2))，
∴m²=1+k²①
由

y＝kx+m

x2−y2＝1

，
得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，
∴

1−k2≠0

△＝4m2k2+4(1−k2)

x1•x2＝(m2+1)/(k2−1)＜0

(m2+1)＝4(m2+1−k2)＝8＞0，
∴k²＜1，
∴-1＜k＜1，
故k的取值范围为（-1，1）．
由于x1+x2＝(2mk)/(1−k2)∴x2−x1＝√(作业帮用户2017-11-08举报问题解析（Ⅰ）由l与圆相切，知m2=1+k2，由y＝kx+mx2−y2＝1，得（1-k2）x2-2mkx-（m2+1）=0，故k的取值范围为（-1，1）．由此能求出x2-x1取最小值2√(2)．（Ⅱ）由已知可得A1，A2的坐标分别为（-1，0），（1，0），所以k1•k2＝(y1y2)/((x1+1)(x2−1))=((kx1+m)(kx2+m))/((x1+1)(x2−1))=(k2−m2)/(m2−k2+2−2√(2))，由此能求出k1•k2＝(−1)/(3−2√(2))＝−(3+2√(2))为定值．名师点评本题考点：圆与圆锥曲线的综合．考点点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)