过点（0，2b）的直线l与双曲线C：x2a2-y2b2=1（a，b>0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A.（1，2]B.

Question

过点（0，2b）的直线l与双曲线C：

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a，b>0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

A. （1，2]

B. （2，+∞）

C. （1，2）

D. （1，

√(2)]

Answer 1

由题意，直线l的方程为y=(b)/(a)x+2b，即bx-ay+2ab=0．
∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，
∴直线l与bx-ay=0的距离恒大于等于b，
∴(2ab)/(√(b2+a2))≥b，
∴3a²≥b²，
∴3a²≥c²-a²，
∴e≤2，
∵e>1，
∴1<e≤2．
故选：A．