直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B．（I）求实数k的取值范围；（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，

Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B．
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，由题意知，由此可知实数k的取值范围．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由题意得，由此入手可求出k的值．
【解析】
（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，整理得（k²-2）x²+2kx+2=0．①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得k的取值范围是-2＜k＜．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则由①式得②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）．
则由FA⊥FB得：（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0．
即（x₁-c）（x₂-c）+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
整理得（k²+1）x₁x₂+（k-c）（x₁+x₂）+c²+1=0．③
把②式及代入③式化简得．
解得
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．