（2010•重庆三模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点E，使二面角．E-A1B-B1的正切值为22，若存在，确定

Question

（2010•重庆三模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC中点．
（Ⅰ）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在点E，使二面角．E-A₁B-B₁的正切值为2√(2)，若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AB₁，∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，且AB=BB₁，∴A₁B⊥AB₁
又∵AC₁⊥平面A₁BD，∴A₁B⊥AC₁…∴A₁B⊥平面AB₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁B，
又∵B₁C₁⊥BB₁，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁
（Ⅱ）假设存在点E满足题设，过E作EF∥B₁C₁交BB₁于F，
由（Ⅰ）知EF⊥平面ABB₁A₁，
过F作FG⊥A₁B于G，连接EG，则EG⊥A₁B∴∠FGE就是二面角E-A₁B-A的平面角
设AB=BB₁=a，∵AC₁⊥A₁D，D为AC中点，∴A1C1＝√(2)a，⇒B₁C₁=EF=a．∴tan∠EGF＝(EF)/(FG)＝a×(1)/(FG)＝2√(2)⇒FG＝(a)/(2√(2))
设BF=x，Rt△A₁B₁B∽Rt△FGB⇒BF＝(1)/(2)a即CE＝(1)/(2)a．∴当E为CC₁的中点时满足题设．