已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2-2m-3=0的两个不相等实根中有一个是0．（1）请求出m的值；（2）是否存在实数k，使关于x的方程x2-（k-m）x-k-m2+5m-2=0的两个实根x1，x2之差的绝对值为1

Question

已知关于x的方程x ² -2（m+1）x+m ² -2m-3=0的两个不相等实根中有一个是0．
（1）请求出m的值；
（2）是否存在实数k，使关于x的方程x ² -（k-m）x-k-m ² +5m-2=0的两个实根x ₁ ，x ₂ 之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵方程x ² -2（m+1）x+m ² -2m-3=0的两个不相等实根，
∴△=4（m+1） ² -4（m ² -2m-3）＞0，
∴m＞-1，
把x=0代入方程x ² -2（m+1）x+m ² -2m-3=0得m ² -2m-3=0，
∵（m-3）（m+1）=0，
∴m ₁ =3，m ₂ =-1，
而m＞-1，
∴m的值为3；
（2）存在．
把m=3代入方程x ² -（k-m）x-k-m ² +5m-2=0得
x ² -（k-3）x-k+4=0，
∴x ₁ +x ₂ =k-3，x ₁ x ₂ =-k+4，
∵|x ₁ -x ₂ ︳=1，
∴（x ₁ -x ₂ ） ² =1，即（x ₁ +x ₂ ） ² -4x ₁ x ₂ -1=0
（k-3） ² -4（-k+4）-1=0，
整理得k ² -2k-8=0，
k ₁ =4，k ₂ =-2，
当k=4和-2时方程x ² -（k-3）x-k+4=0都有两个实数，
∴存在实数k，使关于x的方程x ² -（k-m）x-k-m ² +5m-2=0的两个实根x ₁ ，x ₂ 之差的绝对值为1．