设A={-14-2,-25-2,001},求A的全部特征值及其对应的全部特征向量.

Question

设A={-1 4 -2,-2 5 -2,0 0 1},求A的全部特征值及其对应的全部特征向量.

Answer 1

|A-λE| =
-1-λ 4 -2
-2 5-λ -2
0 0 1-λ
= (1-λ)[(-1-λ)(5-λ)+8]
= (1-λ)(λ^2-4λ+3)
= (1-λ)^2(3-λ).
所以A的特征值为 1,1,3.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(2,1,0)^T,a2=(1,0,-1)^T
所以A的属于特征值 1 的特征向量为 k1a1+k2a2,k1,k2不全为零的任意常数.
(A-3E)X=0 的基础解系为 a3=(1,1,0)^T
所以A的属于特征值 3 的特征向量为 k3a3,k3不为零的任意常数.