1特征值和特征系向量设A=E+(X^T)Y,其中,X=[x1,x2...xn],Y=[y1,y2...yn],且X(Y^T)=2.求A的特征值和特征系向量.因为(X^T)Y秩是1,所以n-1个特征值是0,还有个特征值是迹,也就是2,所以A的特征值是3和1(n-1重特征

Question

1特征值和特征系向量
设A=E+(X^T)Y,其中,X=[x1,x2...xn],Y=[y1,y2...yn],且X(Y^T)=2. 求A的特征值和特征系向量.因为(X^T)Y秩是1,所以n-1个特征值是0,还有个特征值是迹,也就是2,所以A的特征值是3和1(n-1重特征值),帮求下对应的特征向量,谢谢

Answer 1

设 B = X^TY
则 B 的特征值为 XY^T=2,0,...,0
由XY^T=2知 Y^TX=2,且X,Y≠0.
再由 BX^T = X^TYX^T = 2X^T 知 X^T是B的属于特征值2的特征向量.
所以 X^T是A的属于特征值3的特征向量.
又因为 A是实对称矩阵,所以A的属于不同特征值的特征向量正交,
所以A的属于特征值1的特征向量是与X^T正交的向量.