已知a1，a2，…，a2002的值都是1或-1，设m是这2002个数的两两乘积之和．（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求m的最小正值，并指出能达到最小正

Question

已知a ₁ ，a ₂ ，…，a ₂₀₀₂ 的值都是1或-1，设m是这2002个数的两两乘积之和．
（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；
（2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．

Answer 1

（1）（a ₁ +a ₂ +…+a ₂₀₀₂ ） ² =a ₁ ² +a ₂ ² +…+a ₂₀₀₂ ² +2m=2002+2m，
m= (( a1 + a2 +…+ a2002 )2 -2002)/(2) ．
当a ₁ =a ₂ =…=a ₂₀₀₂ =1或-1时，m取最大值2003001．
当a ₁ ，a ₂ ，a ₂₀₀₂ 中恰有1001个1，1001个-1时，m取最小值-1001．
（2）因为大于2002的最小完全平方数为45 ² =2025，且a ₁ +a ₂ +…+a ₂₀₀₂ 必为偶数，
所以，当a ₁ +a ₂ +…+a ₂₀₀₂ =46或-46；
即a ₁ ，a ₂ ，a ₂₀₀₂ 中恰有1024个1，978个-1或恰有1024个-1，978个1时，
m取最小值 (1)/(2) (4 6 2 -2002)=57 ．