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对数函数最值问题.函数f(x)=2(以2为底x的对数)^2+a(以2为底x的对数)^-2+b.在x=2时有最小值,试确定a.b的值.注:a(以2为底x的对数)^-2是a倍的以2为底x的对数的负2次方
题目详情
对数函数最值问题.
函数f(x)=2(以2为底x的对数)^2+a(以2为底x的对数)^-2+b.在x=2时有最小值,试确定a.b的值.
注:a(以2为底x的对数)^-2 是a倍的以2为底x的对数的负2次方
函数f(x)=2(以2为底x的对数)^2+a(以2为底x的对数)^-2+b.在x=2时有最小值,试确定a.b的值.
注:a(以2为底x的对数)^-2 是a倍的以2为底x的对数的负2次方
▼优质解答
答案和解析
设log2 x=y
则f(x)=2y^2+aY-2+b
设y^2=z
则f(x)=(2z^2+bz+a)/z
∴zf(x)=2z^2+bz+a
∴zf(x)最小值为(8a-b^2)/8
因为x最小等于2,z=y^2=(log2 x)^2=1
所以f(x)最小=2+a+b
∴(8a-b^2)/8=2+a+b
a-b^2/8=2+a+b
-b^2/8=2+b
解得b=-4
可知f(x)=2(以2为底x的对数)^2+a(以2为底x的对数)^-2+b最小值是-4
则2+a-4=-4,a=-2
则f(x)=2y^2+aY-2+b
设y^2=z
则f(x)=(2z^2+bz+a)/z
∴zf(x)=2z^2+bz+a
∴zf(x)最小值为(8a-b^2)/8
因为x最小等于2,z=y^2=(log2 x)^2=1
所以f(x)最小=2+a+b
∴(8a-b^2)/8=2+a+b
a-b^2/8=2+a+b
-b^2/8=2+b
解得b=-4
可知f(x)=2(以2为底x的对数)^2+a(以2为底x的对数)^-2+b最小值是-4
则2+a-4=-4,a=-2
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