对数函数最值问题.函数f(x)=2(以2为底x的对数）^2+a(以2为底x的对数）^-2+b.在x=2时有最小值,试确定a.b的值.注：a(以2为底x的对数）^-2是a倍的以2为底x的对数的负2次方

Question

对数函数最值问题.
函数f(x)=2(以2为底x的对数）^2+a(以2为底x的对数）^-2+b.在x=2时有最小值,试确定a.b的值.
注：a(以2为底x的对数）^-2 是a倍的以2为底x的对数的负2次方

Answer 1

设log2 x=y
则f(x)=2y^2+aY-2+b
设y^2=z
则f(x)=(2z^2+bz+a)/z
∴zf(x)=2z^2+bz+a
∴zf(x)最小值为(8a-b^2)/8
因为x最小等于2,z=y^2=(log2 x)^2=1
所以f(x)最小=2+a+b
∴(8a-b^2)/8=2+a+b
a-b^2/8=2+a+b
-b^2/8=2+b
解得b=-4
可知f(x)=2(以2为底x的对数）^2+a(以2为底x的对数）^-2+b最小值是-4
则2+a-4=-4,a=-2