二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1,对应的特征向量为α1=(1,-1)T,|A|=-2.（1）求A的另一个特征值和对应的特征向量.（2）求正交矩阵Q,使Q-1,AQ为对角矩阵.（3）求A.

Question

二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1,对应的特征向量为α1=(1,-1)T,|A|=-2.
（1）求A的另一个特征值和对应的特征向量.
（2）求正交矩阵Q,使Q-1,AQ为对角矩阵.
（3）求A.

Answer 1

(1) 设A的另一个特征值为λ2
因为A的行列式等于其所有特征值的积
所以 -2 = |A| = λ1λ2 = λ2.
设λ2=-2对应的特征向量为X=(x1,x2)'
由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
故有 x1-x2 = 0.
基础解系为:α2=(1,1)'
即λ2对应的特征向量为 c(1,1)',c为非零常数.
(2)将α1,α2单位化得
b1=(1/√2,-1/√2)',
b2=(1/√2,1/√2)'.
令Q=(b1,b2)=
1/√2 1/√2
-1/√2 1/√2
则 Q^-1AQ = diag(1,-2)
(3) A=Qdiag(1,-2)Q^-1 =
-1/2 -3/2
-3/2 -1/2