实对称正交矩阵1为r重特征值,求证另一特征值为-1

Question

实对称正交矩阵
1为r重特征值,求证另一特征值为-1

Answer 1

实对称阵的特征值必为实数.
正交矩阵的特征值必为单位复数(即在复平面单位圆上).
而单位圆上的实数只有1和-1.
因此实对称正交矩阵的特征值只能为1或-1.
补充证明一下正交矩阵的特征值必为单位复数.
设A是正交矩阵,λ是其在复数域上的一个特征值,X ≠ 0是属于λ的一个(复)特征向量.
设μ是λ的复共轭,Y是X的复共轭,则由AX = λX取复共轭可得AY = μY (A是实矩阵).
取转置得Y'A' = μY',于是Y'A'AX = λμY'X.
由A为正交矩阵,A'A = E,又由μ是λ的复共轭,λμ = |λ|².
故Y'X = |λ|²Y'X.
而X ≠ 0,Y是X的复共轭,有Y'X = X各分量绝对值的平方和 ≠ 0.
则有|λ|² = 1,即|λ| = 1.
注:证明其实适用于A是酉矩阵的情形.