如何证明正交阵的特征值的模为1因为特征值可以为虚数,所以它有模复数都有模a+bi(a与b分别为实部和虚部)等于a与b的平方和再开方

Question

如何证明正交阵的特征值的模为1
因为特征值可以为虚数,所以它有模
复数都有模
a+bi(a与b分别为实部和虚部)等于a与b的平方和再开方

Answer 1

设A*B=I（*代表点乘,I为单位矩阵）,且A、B互为转置
所以A、B为正交矩阵
设有任意向量c,
有Ac=ac,a为A的本征值
此式左乘B得到B*Ac=B*ac（*）
由于A*B=I,故B*A=I
所以得到c=aB*C,则B的特征值为a^(-1)
由于对于矩阵A它的转置与它有相同特征值（特征多项式解相同）
所以a=a^(-1)
所以特征值模为1