数列{an}中，如果存在ak，使得“ak＞ak-1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．（Ⅰ）若an=-|n-7|，则{an}的峰值为；（Ⅱ）若an=

Question

数列{a _n }中，如果存在a _k ，使得“a _k ＞a _k-1 且a _k ＞a _k+1 ”成立（其中k≥2，k∈N ^* ），则称a _k 为{a _n }的一个峰值．
（Ⅰ）若a _n =-|n-7|，则{a _n }的峰值为______；
（Ⅱ）若 a n =

n 2 -tn，  n≤2

-tn+4，  n＞2

且{a _n }存在峰值，则实数t的取值范围是______．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a _n }中，如果存在a _k ，使得“a _k ＞a _k-1 且a _k ＞a _k+1 ”成立（其中k≥2，k∈N ^* ），
则称a _k 为{a _n }的一个峰值，即是数列中的最大值，
a _n =-|n-7|≤0，最大值就是0，可得n=7时，a _n =0，当n＞7或n＜7都有a _n ＜0，
∴{a _n }的峰值为0；
（Ⅱ）当n≤2时，有f（n）=a _n =n ² -tn=（n- (t)/(2) ） ² - (t2)/(4) ，开口向上，对称轴为 (t)/(2) ，
在n≤ (t)/(2) 时，f（n）为增函数，
当n＞2，g（n）=a _n =-tn+4，是减函数，但是一个一个的孤立点，
因为{a _n }存在峰值，说明n=2处取得，说明-t必须小于0，可得，
-t＜0，可得t＞0，说明n=2处取得最大值，
n=2，f（2）=4-2t，
根据峰值的定义可得，

a 1 ＜ a 2

g(1)＜g(2)

，
可得

1-t＜4-2t

-t+4＜-2t+4

，
解得0＜t＜3
故答案为：0，0＜t＜3；