设f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=lg（x2-ax+10），a∈R．（1）若f（1）=lg5，求f（x）的解析式；（2）若a=0，不等式f（k•2x）+f（4x+k+1）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（x

题目详情

设f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=lg（x²-ax+10），a∈R．
（1）若f（1）=lg5，求f（x）的解析式；
（2）若a=0，不等式f（k•2^x）+f（4^x+k+1）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵f（1）=lg5，∴f（1）=lg（11-a）=lg5，所以a=6．
此时，当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-lg（x²+6x+10），又f（0）=0，
故f(x)＝

lg(x2−6x+10)，x＞0

0，x＝0

−lg(x2+6x+10)，x＜0.

．
（2）若a=0，则由f（x）为奇函数可得它在R上单调递增，
故f（k•2^x）+f（4^x+k+1）＞0，等价于k•2^x+4^x+k+1＞0．
令t=2^x（t＞0），于是，t²+kt+k+1＞0在（0，+∞）恒成立，
即k＞−

t2+1

t+1

＝−

(t+1)2−2(t+1)+2

t+1

＝−[(t+1)+

t+1

]−2
因为−[(t+1)+

t+1

]−2的最大值为−2

+2，所以k＞−2

+2．
（3）要使f（x）有意义，首先需满足x²-ax+10＞0在（0，+∞）上恒成立，即a＜x+

．
再利用基本不等式求得 x+

≥2

，当且仅当x=

时，取等号，∴a＜2

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