（2013•沙市区三模）已知抛物线y=ax2+bx+c经过两点（0，1），（1m，m2+mb−1m2）（1）求a、c的值．（2）①求证抛物线与x轴恒有两个交点．②设抛物线与x轴的两个交点A、B，求线段AB的最小值．

Question

（2013•沙市区三模）已知抛物线y=ax²+bx+c经过两点（0，1），（(1)/(m)，(m2+mb−1)/(m2)）
（1）求a、c的值．
（2）①求证抛物线与x轴恒有两个交点．②设抛物线与x轴的两个交点A、B，求线段AB的最小值．
（3）当b取何值时，对任意的x满足-1≤x≤2时，都恒有-8≤y≤(13)/(4)成立．

Answer 1

（1）依题意，得

c＝1

(m2+mb−1)/(m2)＝(a)/(m2)+(1)/(m)+c

，
解得，

a＝−1

c＝1

．
所以，a、c的值分别是-1和1；

（2）证明：由（1）知，a、c的值分别是-1和1，则y=-x²+bx+1．
令y=0，则-x²+bx+1=0，
∵△=b²-4×（-1）×1=b²+4＞0，
∴关于x的一元二次方程-x²+bx+1=0有2个实数根，即抛物线与x轴恒有两个交点；
②设点A、B的横坐标分别是x₁，x₂，则
x₁+x₂=b，x₁•x₂=-1，
∴AB²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=b²+4，
∴当b=0时，AB取最小值，AB_最小值=√(4)=2，即线段AB的最小值是2；

（3）y=-x²+bx+1=-（x-(b)/(2)）²+(b2)/(4)+1．
∵-1＜0，
∴该抛物线有最大值（(b2)/(4)+1）．
∵当x=-1时，y=-b，
当x=2时，y=2b-3，
∴①当对称轴x=(b)/(2)≤-1时，即b≤-2时，函数在-1≤x≤2上，y随x的增大而减小．则
-8≤2b-3≤(13)/(4)，
解得，-