如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=-32，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．（1）求该

Question

如图，二次函数y=ax²+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=-(3)/(2)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；
（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的(1)/(4)？

Answer 1

（1）∵y=ax²+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），且对称轴是直线x=-(3)/(2)，
∴

a+b＝4

−(b)/(2a)＝−(3)/(2)

，
解得：

a＝1

b＝3

，
∴二次函数的解析式为y=x²+3x；

（2）如图1，
∵点A（1，4），线段AD平行于x轴，
∴D的纵坐标为4，
∴4=x²+3x，
∴x₁=-4，x₂=1，
∴D（-4，4）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得

4＝k+b

2＝b

，
解得：

k＝2

b＝2

，
∴y=2x+2；
当2x+2=x²+3x时，
解得：x₁=-2，x₂=1（舍去）．
∴y=-2．
∴B（-2，-2）．
∴DO=4√(2)，BO=2√(2)，BD=2√(10)，OA=√(17)．
∴DO²=32，BO²=8，BD²=40，
∴DO²+BO²=BD²，
∴△BDO为直角三角形．
∵△EOD∽△AOB，
∴∠EOD=∠AOB，(OD)/(OB)＝(OE)/(OA)＝(4√(2))/(2√(2))＝2，
∴∠AOB-∠AOD=∠EOD-∠AOD，
∴∠BOD=∠AOE=90°．
即把△AOB绕着O点顺时针旋转90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A₁
∴A₁（4，-1），
∴E（8，-2）．
作△AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为（2，-8）．
∴当点E的坐标是（8，-2）或（2，-8）时，△EOD∽△AOB；

（3）由（2）知DO=4√(2)，BO=2√(2)，BD=2√(10)，∠BOD=90°．
若翻折后，点B落在FD的左下方，如图2．
S_△HFP=(1)/(4)S_△BDP=(1)/(2)S_△DPF=(1)/(2)S_△B′PF=S_△DHP=S_△B′HF，
∴DH=HF，B′H=PH，
∴在平行四边形B′FPD中，PD=B′F=BF=(1)/(2)BD=√(10)；
若翻折后，点B，D重合，S_△HFP=(1)/(2)S_△BDP，不合题意，舍去．
若翻折后，点B落在OD的右上方，如图3，
S_△HFP=(1)/(4)S_△BDP=(1)/(2)S_△BPF=(1)/(2)S_△DPF=(1)/(2)S_△B′PF=S_△DHF=S_△B′HP
∴B′P=BP，B′F=BF，DH=HP，B′H=HF，
∴四边形DFPB′是平行四边形，
∴B′P=DF=BF，
∴B′P=BP=B′F=BF，
∴四边形B′FBP是菱形，
∴FD=B′P=BP=(1)/(2)BD=√(10)，根据勾股定理，得
OP²+OB²=BP²，
∴（4√(2)-PD）²+（2√(2)）²=（√(10)）²，
解得PD=3√(2)，PD=5√(2)＞4√(2)（舍去），
综上所述，PD=√(10)或PD=3√(2)时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的(1)/(4)．