如图，对称轴为x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC

Question

如图，对称轴为x=-1的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．

（1）求点B的坐标．
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S_△POC=4S_△BOC，求点P的坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

（1）∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=-1对称，
∵点A的坐标为（-3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）①a=1时，∵抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线x=-1，
∴(-b)/(2)=-1，解得b=2．
将B（1，0）代入y=x²+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=-3．
则二次函数的解析式为y=x²+2x-3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，-3），OC=3．
设P点坐标为（x，x²+2x-3），
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴(1)/(2)×3×|x|=4×(1)/(2)×3×1，
∴|x|=4，x=±4．
当x=4时，x²+2x-3=16+8-3=21；
当x=-4时，x²+2x-3=16-8-3=5．
∴点P的坐标为（4，21）或（-4，5）；
②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（-3，0），C（0，-3）代入，
得

-3k+t=0

t=-3

，解得

k=-1

t=-3

，
即直线AC的解析式为y=-x-3．
设Q点坐标为（x，-x-3）（-3≤x≤0），则D点坐标为（x，x²+2x-3），
QD=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x=-（x+(3)/(2)）²+(9)/(4)，
∴当x=-(3)/(2)时，QD有最大值(9)/(4)．