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如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,3),作直线BC.动点P在x轴上运动,过点P作PM⊥x轴,交抛物线于点M,交直线BC于点N,
题目详情
如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,3),作直线BC.动点P在x轴上运动,过点P作PM⊥x轴,交抛物线于点M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式;
(2)当点P在线段OB上运动时,若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时,求m的值;
(3)当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时,求m的值.
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式;
(2)当点P在线段OB上运动时,若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时,求m的值;
(3)当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时,求m的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)把点A(-1,0),点C(0,3)代入抛物线y=-x2+bx+c,得
,解得
所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,
令-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,得点B的坐标(3,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,把C(0,3),B的坐标(3,0)代入,得
,解得
所以直线BC的解析式为y=-x+3.
(2)∵△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形,
∴CM∥x轴,即点M的纵坐标为3,
把y=3代入y=-x2+2x+3,得x=0或2,
∵PM⊥x轴,
∴点P的横坐标为m=2.
(3)∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,P的横坐标为m
∴M(m,-m2+2m+3),
∵直线BC的解析式为y=-x+3.
∴N(m,-m+3),
∵以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形,
∴MN=OC=3,
∴-m2+2m+3-(-m+3)=3,化简得m2-3m+3=0,无解,
不存在m这样的值.
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所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,
令-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,得点B的坐标(3,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,把C(0,3),B的坐标(3,0)代入,得
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所以直线BC的解析式为y=-x+3.
(2)∵△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形,
∴CM∥x轴,即点M的纵坐标为3,
把y=3代入y=-x2+2x+3,得x=0或2,
∵PM⊥x轴,
∴点P的横坐标为m=2.
(3)∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,P的横坐标为m
∴M(m,-m2+2m+3),
∵直线BC的解析式为y=-x+3.
∴N(m,-m+3),
∵以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形,
∴MN=OC=3,
∴-m2+2m+3-(-m+3)=3,化简得m2-3m+3=0,无解,
不存在m这样的值.
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