设函数fn（x）=xn+x-1，其中n∈N*，且n≥2，给出下列三个结论：①函数f3（x）在区间（12，1）内不存在零点；②函数f4（x）在区间（12，1）内存在唯一零点；

Question

设函数f _n （x）=x ⁿ +x-1，其中n∈N ^* ，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f ₃ （x）在区间（ (1)/(2) ，1）内不存在零点；
②函数f ₄ （x）在区间（ (1)/(2) ，1）内存在唯一零点；
③设x _n （n＞4）为函数f _n （x）在区间（ (1)/(2) ，1）内的零点，则x _n ＜x _n+1 ．
其中所有正确结论的序号为______．

Answer 1

①f ₃ （x）=x ³ +x-1，∵f ₃ ′（x）=3x ² +1＞0，∴函数在R上是单调增函数，∵f ₃ （ (1)/(2) ）=- (3)/(8) ＜0，f ₃ （1）=1＞0，∴函数f ₃ （x）在区间（ (1)/(2) ，1）内存在零点，即①不正确；
②f ₄ （x）=x ⁴ +x-1，∵f ₄ ′（x）=4x ³ +1，∵x∈（ (1)/(2) ，1），∴f ₄ ′（x）＞0，∴函数在（ (1)/(2) ，1）上是单调增函数，∵f ₄ （ (1)/(2) ）=- (7)/(16) ＜0，f ₄ （1）=1＞0，∴函数f ₄ （x）在区间（ (1)/(2) ，1）内存在零点，即②正确；
③f _n （x）=x ⁿ +x-1，∵f _n ′（x）=nx ^n-1 +1，∵x∈（ (1)/(2) ，1），∴f _n ′（x）＞0，∴函数在（ (1)/(2) ，1）上是单调增函数，∵f _n+1 （x）-f _n （x）=x ⁿ （x-1）＜0，∴函数在（ (1)/(2) ，1）上f _n+1 （x）＜f _n （x），∵x _n （n＞4）为函数f _n （x）在区间（ (1)/(2) ，1）内的零点，∴x _n ＜x _n+1 ，即③正确
故答案为：②③