对于函数y=f（x），若其定义域内存在不同实数x1，x2，使得xif（xi）=1（i=1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）=exa具有性质P，则实数a的取值范围为．

Question

对于函数y=f（x），若其定义域内存在不同实数x₁，x₂，使得x_if（x_i）=1（i=1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）= (ex)/(a)具有性质P，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

由题意知：若f（x）具有性质P，
则在定义域内xf（x）=1有两个不同的实数根，
∵f(x)=(ex)/(a)，∴x•(ex)/(a)=1，
即方程xe^x=a在R上有两个不同的实数根，
设g（x）=xe^x，则g′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
由g′（x）=0得，x=-1，
∴g（x）在（-∞，-1）上递减，在（-1，+∞）上递增，
∴当x=-1时，g（x）取到最小值是g（-1）=-(1)/(e)，
∵x<0，g（x）<0、x>0，g（x）>0，
∴当方程xe^x=a在R上有两个不同的实数根时，
即函数g（x）与y=a的图象有两个交点，
由图得-(1)/(e)<a<0，
∴实数a的取值范围为(-(1)/(e)，0)，
故答案为：(-(1)/(e)，0)．