（2012•东莞二模）设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…xn=b将区间[a，b]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和ni＝1|f(xi)−f(xi−1)|≤M（i=1，2，

Question

（2012•东莞二模）设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…x_n=b将区间[a，b]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和

n

i＝1

|f(xi)−f(xi−1)|≤M（i=1，2，…，n）恒成立，则称f（x）为[a，b]上的有界变差函数．
（1）函数f（x）=x²在[0，1]上是否为有界变差函数？请说明理由；
（2）设函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数，证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数；
（3）若定义在[a，b]上的函数f（x）满足：存在常数k，使得对于任意的x₁、x₂∈[a，b]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤k•|x₁-x₂|．证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数．

Answer 1

（1）∵f（x）=x2在[0，1]上是增函数∴对任意划分Tf（xn）＞f（xn-1）|f（xi）-f（xi-1）|=f（x1）-f（x0）+…+f（xn）-f（xn-1）=f（1）-f（0）=1取常数M≥1，则和式ni＝1|f(xi)−f(xi−1)|≤M（i=1，2，3…n）恒成...