∫(0→π/2)(sinx)^ndx=多少?怎么来的?∫(0→π/2)(cosx)^ndx=多少?怎么来的?∫dx/(x^2-a^2)=多少,给出推导过程.∫dx/√(a^2+x^2)=多少,给出推导过程.∫dx/√(x^2-a^2)=多少,给出推导过程.∫（0→∞）e^(-x^2)dx

Question

∫(0→π/2) (sinx)^n dx=多少?怎么来的?
∫(0→π/2) (cosx)^n dx=多少?怎么来的?
∫dx/(x^2-a^2)=多少,给出推导过程.
∫dx/√(a^2+x^2)=多少,给出推导过程.
∫dx/√(x^2-a^2)=多少,给出推导过程.
∫（0→∞）e^(-x^2)dx=多少,这个对你难就算了
∫（0→∞）sinx/xdx=多少,

Answer 1

前两个式子是相等的,利用不定积分可以推出递推公式,最后结果是：当n为偶数时,结果是(n-1)/n×(n-3)/(n-2)×……×3/4×1/2×π/2,当n为奇数时,结果是(n-1)/n×(n-3)/(n-2)×……×2/3.作为公式直接使用.
接下来的这三个都是不定积分公式,∫dx/(x^2-a^2)＝1/(2a)×[∫dx/(x-a)－∫dx/(x+a)]＝1/(2a)×ln|(x-a)/(x+a)|＋C.
∫dx/√(a^2+x^2),令x＝a*tant,结果是ln(x+√(x^2+a^2))＋C.
∫dx/√(x^2-a^2),令x＝a*sect,结果是ln|x+√(x^2-a^2)|＋C.
最后的这两个的计算也是有方法的,利用反常积分和含参变量积分可以计算出来,第一个是反常积分一节,第二个在含参变量积分一节（一般是在二重积分一章的最后）,知道结果即可,结果分别是(√π)/2、π/2