|x+1|+|x+2|=a有解则a的范围为（）.|x+1|+|x+2|+|x+3|=a则a的范围为a（）.由上式可以推出|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+n|=a有解则a的取值范围?

Question

|x+1|+|x+2|=a 有解则a的范围为（）.|x+1|+|x+2|+|x+3|=a则a的范围为a（）.由上式可以推出|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+n|=a有解则a的取值范围?

Answer 1

抽象思维.
将|x+1|看成在数轴上,到-1的距离.
同理,|x+2|即在数轴上到-2的距离.
那么|x+1|+|x+2|就是该点到-1和-2的距离之和.
通过图像易知,x在[-2,-1]内时,到两点距离之和最小为1.
即此时x=-1/2.
而当x无限逼近无穷大时,距离之和为正无穷大.
所以（1）中a≥1.
同样的思维,|x+1|+|x+2|+|x+3|=a,当x=-2时,距离之和最小值为1+1=2.此时a≥2
那么若|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|=a,则当x=-2/5时,距离之和最小为0.5+0.5+1.5+1.5=4.此时a≥4
那么又知道|x+1|+|x+2|是个特殊情况,即x在[-2,-1]间a都能获得最小值.所以暂不讨论n=2时.
n≥3时
①n为奇数.
当x=-(n+1)/2时,a方可获最小值.
此时a=2×[1+2+…+(n-1)/2]=[1+(n-1)/2]×(n-1)/2=(n²-1)/4
即此时a≥(n²-1)/4
②n为偶数.
当x取-n,-(n-1),…,-2,-1中间两项的中点的值时,a获得最小值.
中间两项为-n/2,-n/2-1
则x=(-n/2-n/2-1)/2=(-n-1)/2=-(n+1)/2
则此时a=2×[0.5+1.5+2.5+…+(n-1)/2]=[0.5+(n-1)/2]×n/2=n²/2
即此时a≥n²/4
再反过来看,当n=2时,a≥1 也是成立的.
综上所述：
当n≥2时,①n为奇数,a≥(n²-1)/4
②n为偶数,a≥n²/4