已知函数y=f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x,y∈R，等式f(x)f(y)=f(x+y)成立。若数列{an}满足a1=f(0)，且f(an+1)=1f(−2−an)(n∈N∗)，则a2013的值为（）。A.4026B.4025C.4024D.4023

Question

已知函数y=f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x,y∈R，等式f(x)f(y)=f(x+y)成立。若数列{an}满足a1=f(0)，且f(an+1)=1f(−2−an)(n∈N∗)，则a2013的值为（  ）。A. 4026B. 4025C. 4024D. 4023

Answer 1

本题主要考查数列的应用和数列与函数的关系。在f(x)f(y)=f(x+y)中令y=0，可得f(x)f(0)=f(x+0)，解得f(0)=1或f(x)=0又因为当x<0时f(x)>1≠0，所以必有f(0)=1；再令x>0，y=−x<0，所以f(x)f(−x)=f(x−x)=f(0)=1，因为f(−x)>1