设f（x）在x=0的某邻域有连续的二阶导数，且limx→0f(x)x=a，讨论级数∞n＝1f(1n)，∞n＝1(−1)nf(1n)的收敛性和绝对收敛性．

Question

设f（x）在x=0的某邻域有连续的二阶导数，且

lim

x→0

(f(x))/(x)=a，讨论级数

∞

n＝1

f((1)/(n))，

∞

n＝1

(−1)nf((1)/(n))的收敛性和绝对收敛性．

Answer 1

（本题满分10分）
因f（x）在x=0的某邻域有连续的二阶导数，且

lim

x→0

(f(x))/(x)＝a，可得f（0）=0，f'（a）=a
设f''（0）=2b，由泰勒公式f((1)/(n))＝a((1)/(n))+b((1)/(n))2+o((1)/(n))2，(n→∞)
先看级数

∞

n＝1

f((1)/(n))，显然当a≠0时，由

lim

x→∞

(f((1)/(n)))/((1)/(n))＝a≠0，可知

∞

n＝1

f((1)/(n))发散．
再看级数

∞

n＝1

(−1)nf((1)/(n))，a≠0不妨设a＞0（a＜0时可讨论级数

∞

n＝1

(−1)nf(−(1)/(n))．
由a＝f′(0)＝

lim

x→0

f′(x)＞0，在x=0附近f'（x）＞0，f（x）单调递增，从而f((1)/(n))单调递减，由

lim

x→∞

f((1)/(n))＝f(0)＝0，故由莱布尼茨判别法知级数

∞

n＝1

(−1)nf(−(1)/(n))收敛且为条件收敛．
当a=0时，由

lim

x→∞

(|f((1)/(n))|)/(((1)/(n))2)＝|b|，可得

∞

作业帮用户 2017-10-31

问题解析

需要对参数a进行分类讨论，在不同的情况下分析这两个级数的收敛性．

名师点评

本题考点：

莱布尼兹判别法；级数收敛的必要条件；绝对收敛的定义．

考点点评：

本题考察了相绝对收敛的定义和级数收敛的判别方法．

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