已知定义在R的函数f（x）满足以下条件：①对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）f（y）+f（x）+f（y）；②当x>0时，f（x）>0；③f（1）=1．（1）求f（2），f（0）的值；（2）若f（2x）-a≥af（x

Question

已知定义在R的函数f（x）满足以下条件：
①对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）f（y）+f（x）+f（y）；
②当x>0时，f（x）>0；
③f（1）=1．
（1）求f（2），f（0）的值；
（2）若f（2x）-a≥af（x）-5对任意x恒成立，求a的取值范围；
（3）求不等式f(f(x))≥(7-f(x+1))/(1+f(x+1))的解集．

Answer 1

（1）令x=y=1可得f（2）=f（1）f（1）+2f（1）=3，
令x=y=0可得f（0）=f（0）f（0）+2f（0），则f（0）=0或f（0）=-1，
令x=1，y=0可得f（1）=f（1）f（0）+f（0）+f（1），若f（0）=-1，则f（1）=f（0）=-1与已知矛盾，∴f（0）=0；
（2）f（2x）-a≥af（x）-5对任意x恒成立⇒f²（x）+2f（x）-a≥af（x）-5对任意x恒成立，
令f（x）=t，以下探讨f（x）=t的取值范围．
令y=-x可得f（0）=f（-x）f（x）+f（x）+f（-x）⇒f（x）=(-f(-x))/(f(-x)+1)=-1+(1)/(f(-x)+1)，
当x<0时，f-x）>0，则-1<f（x）=(-f(-x))/(f(-x)+1)=-1+(1)/(f(-x)+1)<0，
∴x∈R时，f（x）=t∈（-1，+∞）．
原不等式等价于：t²+2t-a≥at-5在t∈（-1，+∞）恒成立，
即tt²+2t+5≥（t+1）a⇒a≤(t2+2t+5)/(t+1)．
g（t）=(t2+2t+5)/(t+1)=t+1+(4)/(t+1)≥4，当t=1时取等号．
∴a≤4．
（3）由（2）可得f（x）∈（-1+∞），f（x+1）∈（-1+∞），
f（f（x））≥(7-f(x+1))/(1+f(x+1))⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7-f（x+1）⇒
f（x+1）•⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7-f（x+1）⇒
f（x+1）+f（x+1）•f（f（x））+f（f（x））≥7⇒f（x+1+f（x））≥7．
下面证明y=f（x）的单调性：
任取x₁，x₂∈R，且x₁>x₂，⇒f（x₁-x₂）>0，f（x₂）>-1
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）+f（x₁-x₂）=f（x₁-x₂）[f（x₂）+1]>0
所以函数 y=f（x）在R上单调递增，
∵f（3）═f（1）f（2）+f（2）+f（1）=7，
∴f（x+1+f（x））≥7⇒．f（x+1+f（x））≥f（3）⇒x+1+f（x）≥3
令F（x）=x+1+f（x），F（x）在R上单调递增，且F（1）=3
x+1+f（x）≥3⇔F（x）≥F（3）⇒x≥1，
所以原不等式解集为：[1，+∞）．