f(x)的定义域为R+,对任意x,y∈R+恒有f(xy)=f(x)+f(y)设f^-1(x)是f(x)的反函数,证明:f^-1(x)在其定义域内恒有f^-1(x1+x2)=f^-1(x1)*f^-1(x2)

Question

f(x)的定义域为R+,对任意x,y∈R+恒有f(xy)=f(x)+f(y)
设f^-1(x)是f(x)的反函数,证明:f^-1(x)在其定义域内恒有f^-1(x1+x2)=f^-1(x1)*f^-1(x2)

Answer 1

用函数g（x）代表函数f（x）的反函数,写起来方便.
将要证明的等式右边部分g（x1）*g(x2)作为整体带入带入函数 f 中得：
f(g(x1)*g(x2))=f(g(x1))+f(g(x2))
然而g是f函数的反函数,满足f（g（t））=t,符号t是为了看得更清楚,用x容易混淆.
上等式变为：
f(g(x1)*g(x2))=f(g(x1))+f(g(x2))=x1+x2
此时可知,对于原函数f,自变量为g（x1）*g(x2)时,函数值为x1+x2；
对应反函数g：自变量为x1+x2时,函数值为g（x1）*g（x2）
得到了要求证的等式.
note符号g=f^-1